随机过程习题知识

1 第一章习题

1.1 第一次作业

1.1.1 两个随机变量的函数的概率密度求解

法1：先求解概率分布函数，再由分布函数求导得到概率密度。

例题：已知随机变量$X$服从参数为1的指数分布，求$Y = \sqrt{2X}$的概率密度函数。

解答：由题意知，随机变量$X$的概率密度为：

$$f(x) = \begin{cases} \mathrm{e}^{-x} & x > 0 \\ 0 & x \leq 0 \end{cases}$$

令$A = \sqrt{2X}$，则有：

$$\begin{aligned} F_A(a) &=P(A \leq a) \\ & = P(\sqrt{2X} \leq a) \\ & = P(X \leq \dfrac{a^2}{2}) \\ & = \int_0^{\frac{a^2}{2}} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{d}x \\ & = 1 - \mathrm{e}^{-\frac{a^2}{2}} \end{aligned}$$

则随机变量$A$的概率密度为：

$$f_A(a) = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}F_A(a) = ae^{-\frac{a^2}{2}}, \quad a>0$$

法2：利用概率密度的四则运算。

(一) 类型一 ：$Z=X±Y$

随机变量$Z$的概率密度为：

$$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, \pm(z-x)) \mathrm{d} x, \quad-\infty<z<+\infty \\ 或\\ f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(z \mp y, y) \mathrm{d} y, \quad-\infty<z<+\infty$$

当随机变量$X、Y$互相独立时，有：

$$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(\pm(z-x)) \mathrm{d} x, \quad-\infty<z<+\infty \\ 或 \\ f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(z \mp y) f_Y(y) \mathrm{d} y, \quad-\infty<z<+\infty$$

其中，对于加的情况，上述公式后两个即卷积公式。

(二) 类型二 ：$Z = XY$

此时，随机变量$Z$的概率密度为：

$$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{|x|}f(x, \dfrac{z}{x}) \mathrm{d} x, \quad-\infty<z<+\infty \\ 或\\ f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{|y|}f(\dfrac{z}{y}, y) \mathrm{d} y, \quad-\infty<z<+\infty$$

当随机变量$X、Y$互相独立时，有：

$$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{|x|}f_X(x) f_Y(\dfrac{z}{x}) \mathrm{d} x, \quad-\infty<z<+\infty \\ 或 \\ f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{|y|}f_X(\dfrac{z}{y}) f_Y(y) \mathrm{d} y, \quad-\infty<z<+\infty$$

(三) 类型三： $Z=X/Y$

此时，随机变量$Z$的概率密度为：

$$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} |y|f(yz, y) \mathrm{d} y, \quad-\infty<z<+\infty$$

当随机变量$X、Y$互相独立时，有：

$$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} |y|f_X(yz) f_Y(y) \mathrm{d} y, \quad-\infty<z<+\infty$$

参考资料

【1】 二维随机变量期望公式_两个连续随机变量的四则运算 - CSDN

【2】数学概率之z=x+y和z=x-y和z=x/y的分布 - CSDN

【3】Z=XY分布的概率密度函数的证明